Sejarah Matematika dan Perkembangannya

Sejarah Matematika dan Perkembangannya

Matematika (dari bahasa Yunani:μαθη ματικ ά -m athēm atiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian. Matematika adalah suatu alat yang dapat digunakan untuk membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam pemerintahan, industri, sains dan dalam kehidupan sehari-hari yang lain nya). Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.

Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting". Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan." Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides,Elem en. Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

1.1 Filsafat Pendidikan Matematika

Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafat tentang pendidikan. Dapat mengonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat juga pada ilmu pendidikan. Jika mengutamakan proses pendidikan, yang dipersoalkan adalah cita-cita, bentuk, metode, dan hasil dari proses pendidikan. Jika mengutamakan ilmu pendidikan maka yang menjadi pusat perhatian adalah konsep, ide, dan metode pengembangan dalam ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk filsafat yang membahas proses pendidikan dalam bidang studi matematika. Aliran-aliran yang berpengaruh dalam filsafat pendidikan antara filsafat analitik, progesivisme, eksistensialisme, rekonstruksionisme, dan konstruktivisme.

Pendidikan matematika adalah bidang studi yang mempelajari aspek-aspek sifat dasar dan sejarah matematika, psikologi belajar dan mengajar matematika, kurikulum matematika sekolah, baik pengembangan maupun penerapannya di kelas.

Filsafat konstruktivisme banyak mempengaruhi pendidikan matematika sejak tahun sembilan puluhan. Konstruktivisme berpandangan bahwa belajar adalah membentuk pengertian oleh si belajar. Jadi siswa harus aktif. Guru bertindak sebagai mediator dan fasilitator. Budaya yang paling menonjol dapat dikatakan sebagai ciri khas budaya suatu bangsa. Ciri khas bangsa Yunani kuno adalah ide-ide idealnya, bangsa Romawi dengan budaya politik, militer dan suka menaklukkan bangsa lain. Bangsa Mesir kuno dengan seni keindahan dan juga mistik. Tahun 600 – 1200 ciri khas budaya bangsa Eropa adalah teologis. Tahun 1200 – 1800 budaya bangsa Eropa mulai eksplorasi alam sebelum revolusi industri. Abad ke-19, dan 20 penciptaan mesin-mesin otomatis berbarengan dengan kemajuan dalam bidang sains dan matematika.

Bangsa-bangsa Babilonia, Mesir, Sumeria dapat dipandang sebagai matematika empiris. Nama ini berkaitan dengan perkembangan matematika yang selalu untuk memenuhi keperluan dalam perdagangan, pengukuran, survei, dan astronomi. Dengan kata lain matematika diangkat dari pengalaman manusia bergelut dengan masalah-masalah praktis dalam kehidupan sehari-hari. Walaupun demikian matematika empiris ini telah mengantisipasi datangnya matematika non-empiris seperti telah digunakannya bilangan negatif, dan sistem bilangan alam atau asli yang menuju ketakhingga.

Kontribusi paling menonjol bangsa Yunani terhadap perkembangan matematika terletak pada dipilihnya metode deduktif dan kepercayaannya bahwa fenomena alam dapat disajikan dalam lambang-lambang bilangan. Dan ini terbukti sekarang telah ditemukan alat-alat elektronik digital.

Bangsa Eropa sendiri baru belakangan tertarik pada matematika. Selama 1000 tahun matematika berkembang di Asia kecil (Yunan, Arab). Tahun 400 – 120 perkembangan matematika dapat dikatakan mandek, hanya beberapa gelintir orang mengembangkan secara individual (tanpa ada komunikasi satu sama lain), di antara mereka adalah Boethius, Alcuino, dan Gerberet, dan yang paling akhir Leonardo Fibonacci.

1.2 Pusat perkembangan matematika berada di Eropa.

Matematika Kontemporer (1850 – Sekarang) Aritmetika memiliki peran ganda: sebagai alat bantu sains dan perdagangan, dan sebagai uji komparatif landasan dasar tempat sistem matematika itu dibangun. Hogben, Well, dan McKey dan lain-lain telah melukiskan peran aritmetika dengan indahnya.

Perkembangan kalkulasi yang paling spektakuler adalah diciptakannya “otak elektronik”, komputer. Komputer lebih banyak memerlukan matematika daripada aritmetika elementer. Penciptaan komputer memerlukan kolaborasi para pakar matematika, aritmetika, dan ahli teknik pakar mesin.

Pada abad 20 perkembangan aritmetika makin abstrak dan tergeneralisasi. Perkembangannya mengacu pada aljabar dan analisis guna lebih “mengeraskan” aritmetika. Sebaliknya yang terakhir ini disebut “arimetisasi”

Abstraksi dan generalisasi pada abad 20 telah diantisipasi oleh Lobachevsky dengan munculnya geometri non-euclidnya. Selanjutnya pakar-pakar lain seperti Peacock, Gregory, DeMorgan, memandang aljabar dan geometri sebagai “hipothetico-deductive” dengan cara Euclid.

Matematika yang telah berkembang selama dua ribu lima ratus tahun oleh generasi ke generasi, ternyata dapat diajarkan kepada anak-anak “hanya” dalam beberapa tahun di sekolah. Oleh karena itu, Prof Judd (psikolog) mengatakan bahwa aritmetika adalah kreasi manusia paling perfect (sempurna) dan alat untuk berkomunikasi sesama manusia. Dengan demikian matematika perlu dijaga dan dikembangkan untuk mengantarkan manusia menyongsong hari esok yang cerah.

Ø   Perkembangan Matematika

Perkembangan matematika dilihat dari produktivitas baik kuantitatif maupun kualitatif dari waktu ke waktu makin meningkat dan sangat cepat. Perbandingan ini dikaitkan dengan skala waktu. Perbandingan produktivitas terhadap skala waktu, secara kuantitatif dapat digambarkan mendekati secara eksponensial pertumbuhan biologis.

Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atau periode perkembangan. Yang pertama, pembagian waktu ke dalam tiga periode, yakni, “dahulu”, “pertengahan”, dan “sekarang”. Pembagian ini berdasarkan pertumbuhan matematika sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua, pembagian menurut cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurut penemuan naskah yang dapat dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2) Kejayaan Yunani (600 SM – 300), (3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum dan sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17, (6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangan kebudayaan Eropa.

Setiap periode, baik yang membagi menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang umum. Pada periode “dahulu”, ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman (indera) hidup manusia. Periode “pertengahan” mulai dengan analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan pada periode “sekarang” ciri khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi. Ternyata perkembangan matematika dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauh lebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan definisi matematika yang mengatakan “matematika adalah cara berpikir dan bernalar”, lihat Modul 1. Sedang kekuatannya, misalnya, lihatlah geometri Euclid dibanding dengan geometri non-euclid, yang terakhir ini mampu menyelesaikan masalah lebih rumit (geometri non-euclid digunakan dalam mengembangkan teori relativitas dalam ilmu fisika) Walaupun demikian kadang-kadang korelasi antara perkembangan matematika dan kebudayaan kadang-kadang korelasi itu negatif.

ü  Berpikir Matematis

Persyaratan Aksioma dalam Sistem Matematis. Sejak awal perkembangannya sampai kira-kira abad ke-16, matematika tidak pernah mengenal kreasi matematika baru, sehingga orang mengatakan matematika adalah statis. Tetapi pendapat ini menjadi tidak benar sebab setelah abad ke-17, Descartes menemukan geometri analitik. Lebih-lebih setelah Bolyai dan Lobachevsky menemukan geometri non-euclid. Ini memicu tumbuhnya metode postulatsional atau metode aksiomatis pada abad ke-19. Pemunculan metode ini dipandang sebagai fajar menyingsing perkembangan matematika. Mulai saat itu, hampir setiap hari dikreasi matematika baru.

ü  Peran Logika dalam Sistem Matematika

Pythagoras mengusulkan adanya konsep untuk ‘bukti’ yang baku dan jelas dan disetujui oleh semua pakar. Aristoteles menyusun hukum dasar logika yang pertama kali. Ternyata hukum dasar itu identik dengan perangkat aksioma. Term tak didefinisikan dalam aksioma disebut kata primitif dalam logika. Dengan sistem aksioma dalam geometri Euclid, diubah oleh Lobachevsky dan Bolyai, maka kemudian ada maksud mengembangkan logika modern. Russell dan Whitehead telah berhasil menyusun membangun hukum dasar logika modern. Dalam sistemnya mereka memasukkan kata-kata atau, dan, negasi dan sebagainya. Hukum dasar Aristoteles dipandang hanya berlaku untuk semesta tertentu. Hukum dasar logika modern bersifat semesta. Artinya semua matematika dan sains dapat menggunakan hukum dasar logika modern guna menarik kesimpulan, dan tidak tergantung jenis logika yang digunakan. Ternyata baik aksioma matematika maupun hukum dasar logika adalah variabel. Lucasiewics berjaya menyusun sistem logika modern. Keuntungannya tidak perlu lagi menggunakan tabel-tabel matriks nilai kebenaran untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran komponennya. Dan dapat langsung untuk sebarang nilai kebenaran komponen-komponennya.

ü  Sistem Aksioma Peano sebagai Basis Matematika

Aksioma Peano adalah sebuah contoh sistem aritmetika postulatsional. Aksioma Peano sangat mengagumkan. Perangkat aksioma ini terdiri dari 5 postulat dengan definisi rekursif (maju atau mundur) bilangan-bilangan alam, misalnya 4 = 3´ = (2´ )´ = ((1´ )´ )´ = (((0´ )´ )´ )´ ,. Atau 0´ = 1, 1´ = 2, 2´ = 3, dst. P4 membatasi bahwa setelah bilangan 0 tidak dapat mundur lagi. Dengan menambahkan definisi jumlah D1(a), (b) dan definisi kali D2(a) dan (b), maka dapat dibuktikan sifat-sifat operasi assosiatif, komutatif, dan distributif untuk kedua operasi yang didefinisikan.Dengan mendefinisikan bilangan positif, negatif, rasional, dan kompleks dengan cara-cara yang sesuai hanya dengan mengambil term-term primitif yang termuat dalam aksioma, semua sistem bilangan memenuhi aksioma. Demikian pula fungsi aljabar seperti fungsi kontinu, limit, kalkulus dsb. Dengan hasil ini maka dikatakan bahwa aksioma Peano merupakan basis matematika.

ü  Matematika sebagai Metode dan Seni

Walaupun tidak sempurna, matematika aksiomatis dibuka oleh geometri Euclid pada abad ketiga. Peano membuat aksioma yang mula-mulanya untuk bilangan alam. Aksioma ini berbuah lebat. Hilbert menyempurnakan aksioma Euclid. Perangkat aksioma harus memenuhi syarat tertentu antara lain: (a) terdiri dari kata-kata yang kosong dari arti (primitif), (ii) banyaknya primitif harus minimal, (iii) perangkat primitif harus konsisten, dan independen. Teorema-teorema dideduksi secara logis dengan menggunakan logika formal. Dengan metode langkah-langkah seperti itu maka muncul matematika baru yang disebut sistem matematika. Karena itu geometri dapat dipandang sebagai sebuah metode (metode membangun karya matematis).

Dalam geometri murni, term-term primitif kosong dari arti. Teorema-teorema dideduksi secara logis menggunakan logika formal. Teorema-teorema pun kosong dari arti. Kebenaran teorema-teorema ini adalah kondisional.

Dalam geometri fisik atau orang awam menyebutnya geometri empiris, perangkat aksioma diambil dari geometri murni dengan cara memberi makna fisik untuk term-term primitif. Teorema-teorema kemudian juga mengandung makna fisik. Sekarang perangkat aksioma dan teorema-teorema dalam geometri fisik bernilai benar.

Untuk pengembangan teorema-teorema matematikawan memiliki daya imajinasi, abstraksi, inspirasi, dan kreativitas, yang pada umumnya juga berdasarkan pengalaman.